空关系有没有自反性？

空关系有反自反性、对称性、反对称性、传递性，唯独没有自反性，为什么？

来，让我们先温习一下基本定义，

二元关系的定义：

如果一个集合满足以下条件之一：

1）集合非空，且它的元素都是有序对；

2）集合是空集；

则该集合为一个二元关系。

设A、B是集合，AxB的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系；特别的，当A=B时叫做A上的二元关系。

 

空关系的定义：

对于任何集合A，空集是AxA的子集，叫做A上的空关系。

 

自反性的定义：

若∀x(x∈A-><x,x>∈R)，则称R在A上是自反的。

 

对称性的定义：

若∀x∀y(x,y∈A∧<x,y>∈R-><y,x>∈R)，则称R为A上的对称的关系。

 

对于对称关系，我们很容易用定义验证空关系是否符合，即，蕴含式前件为“假”，真值为“真”，所以空关系有对称性。反对称性、传递性证明类似。

 

对于自反性，我们可能会想当然的认为，与对称性的情况类似，所以也有自反性，可是教材上就偏偏没有说空关系也是自反的，这是为什么？

答案在这里，∀x(x∈A）这个谓词公式可以用UI规则消去全称量词∀x，那么它的真值就是“真”了，它是自反性的定义中蕴含式的前件。现在前件是真了，后件却是永假的（R是空关系，当然不会有<x,x>∈R），所以空关系不是自反的。